第27章 幾何変換と補間

画像を回転したり拡大したりすると、出力画素は入力画像の格子点のちょうど上には乗らず、格子の「間」を指します。その中間点の値を、周りの画素から推定するのが補間（interpolation）です。地味ですが、回転・拡大・変形といった幾何変換のたびに必要になる土台の演算で、逆投影（第3・4章）、MPR（第28章）、レジストレーション（第34章）の内部でも使われています。

3 つの補間法

代表的な補間法は、周りの何画素をどう混ぜるかで決まります。

• 最近傍（nearest neighbor）：もっとも近い 1 画素の値をそのまま使う。速く、元の値を変えないので、ラベル画像やマスク（第32章のセグメンテーション結果）の変換に向きます。ただし拡大するとブロック状のギザギザが出ます。
• バイリニア（双一次）：近傍 $2\times2$ の画素を、距離に応じて線形に重み付けして平均します。滑らかで速く、もっとも標準的です。段差はなまりますが、値が近傍の範囲を超えることはありません。
• バイキュービック（双三次）：近傍 $4\times4$ を三次のカーネルで重み付けします。バイリニアより鋭くなめらかですが、段差の近くで値が近傍のレンジをわずかに超える（オーバーシュート、リンギング）性質があります。

上の図は 1 次元で見た様子です。標本点（白丸）の間を、最近傍は階段状に、線形は直線で、三次は滑らかな曲線で埋めます。三次は段差の直後で行き過ぎている（オーバーシュート）ことに注目してください。2 次元のバイリニア・バイキュービックは、これを縦横に適用したものです。もっと広い近傍を使う Lanczos 補間もあり、さらに鋭くなりますがリンギングも強くなります。

シミュレーション：拡大して見比べる

粗い元画像を、同じ表示サイズへ最近傍・バイリニア・バイキュービックで拡大して並べます。元解像度を下げるほど拡大率が上がり、違いがはっきりします。最近傍はブロック状、バイリニアは滑らか、バイキュービックはより鋭く、斜めエッジの近くでバイキュービックのわずかな縁取り（オーバーシュート）が見えます。

縮小とエイリアシング

拡大の逆、画像を縮小するときには別の注意が要ります。細かい模様を粗い格子で標本化し直すと、標本化定理（第11章）に反して、本来ない縞やモアレが現れます。これがエイリアシングです。防ぐには、縮小の前にローパスフィルタ（第28章のガウシアンなど）をかけて、格子で表せない高周波をあらかじめ削っておきます。単純に間引くだけの縮小がモアレを生むのはこのためです。

この章の要点

回転・拡大・変形のたびに、出力画素は入力格子の間を指すので、周りの画素から値を推定する補間が要ります。最近傍は値を変えずラベル向きだがブロック状、バイリニアは滑らかで標準的、バイキュービックはより鋭いが段差でオーバーシュートします。縮小では、標本化定理により、先にローパスをかけないとエイリアシング（モアレ）が出ます。補間は逆投影・MPR・レジストレーションなど、幾何変換を伴うあらゆる処理の土台です。

参考文献

• Keys R. Cubic convolution interpolation for digital image processing. IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing 29, 1153–1160 (1981).
• Lehmann TM, Gönner C, Spitzer K. Survey: Interpolation Methods in Medical Image Processing. IEEE Transactions on Medical Imaging 18, 1049–1075 (1999).
• Thévenaz P, Blu T, Unser M. Interpolation Revisited. IEEE Transactions on Medical Imaging 19, 739–758 (2000).