第10章 モンテカルロ光子輸送

現実の X 線光子は、物質中で吸収されたり、あらぬ方向へ散乱したりします。散乱した光子は検出器を汚してアーチファクトの原因になり（第12章）、吸収された分は患者の線量になります（第9章）。この素過程を 1 光子ずつ追って統計的に解くのがモンテカルロ法で、Geant4 に代表される本格的なシミュレーションが担う計算です。ここまでの順投影は線積分（Beer–Lambert 則）、すなわち X 線は物質を通ると $\exp(-\int \mu\,dl)$ だけ弱まるという理想化で表してきました。再構成の数学を作るには十分でしたが、実際の X 線 CT が相手にしている物理の一部しか捉えていません。

光子が物質と起こす 3 つの相互作用

診断領域（およそ 20〜150 keV）の X 線が物質と起こす相互作用は、主に 3 種類です。

• 光電吸収：光子が原子に丸ごと吸収され、電子を叩き出す。光子はそこで消え、エネルギーはすべてその場に付与されます（＝線量）。低エネルギーほど、また原子番号が高い物質ほど起きやすい（おおよそ $Z^3/E^3$）。
• コンプトン散乱：光子が電子と弾性衝突し、方向を変えてエネルギーを一部失います。散乱後のエネルギーは $E' = E/(1 + (E/511)(1-\cos\theta))$（keV）で決まり、失った分 $E-E'$ がその場の線量になります。診断領域の軟部組織で主役の過程です。
• レイリー散乱：光子が原子全体とコヒーレントに散乱し、方向だけわずかに変えてエネルギーは失いません。寄与は小さいですが、前方付近の散乱を増やします。

どの過程がどれだけ起きるかはエネルギーで変わります。低エネルギーでは光電吸収が優勢で、光子はよく吸収され、線量が高くなります。エネルギーを上げるとコンプトン散乱が優勢になり、散乱線が増えます。総減弱係数 $\mu$ も低エネルギーほど大きく、これが第12章のビームハードニング（低エネルギー成分が先に吸収されてスペクトルが硬くなる現象）の出発点です。

モンテカルロ法：確率で追う

線積分がビーム全体を一本の式で表すのに対し、モンテカルロ法は光子を 1 個ずつ、確率的に追跡します。手順はおおよそ次のとおりです。

1. 次の相互作用までの距離を、総減弱係数 $\mu$ から $s = -\ln(\xi)/\mu$（$\xi$ は一様乱数）でサンプリングする。
2. その点で、どの相互作用が起きたかを断面積の比で抽選する。
3. 光電吸収なら光子は消え、エネルギーをその場に置く。コンプトンなら Klein–Nishina 分布から散乱角を引いて方向とエネルギーを更新する。レイリーなら方向だけ変える。
4. 光子が検出器に届くか、消えるか、視野の外へ出るまで 1〜3 を繰り返す。

1 個の光子の運命は乱数で決まりますが、多数の光子を追って平均すれば、期待される分布に収束します（大数の法則）。ここで第9章のポアソン統計がそのまま効いてきます。集める光子数 $N$ を増やすほど、推定の相対的なばらつきは $1/\sqrt{N}$ で小さくなります。少ない光子数では結果がざらつき、増やすほど滑らかになります。実際の計算では、この収束の遅さ（誤差を半分にするには 4 倍の光子が要る）が悩みどころで、分散低減法という工夫が使われます。

シミュレーション：散乱と線量を光子から見る

水の円柱に高密度の骨インサートを入れたファントムに、上端から平行ビームを入れて 1 光子ずつ追跡します。中央は付与エネルギー（線量）の分布、右は検出器に届いた一次線と散乱線のプロファイルです。エネルギーを上げると光子は吸収されにくくなり、線量割合が低下します。散乱対一次比（SPR）は、エネルギーに対して単調に増加するとは限りません。低エネルギーでは吸収が大きく、検出器まで届く一次線が少ないため、散乱の相対的な影響が大きくなる場合があります。物質が厚くなると、一般に SPR は増加します。光子数を増やすと、線量マップとプロファイルのモンテカルロノイズが減少します。一次線による鋭い影に散乱線のなだらかな成分が加わることで、投影値の定量性が低下します。

Geant4 と本格的なモンテカルロ

このシミュレーションは 2 次元・単純化した断面積・面内散乱だけの教材用モデルです。実際の研究や装置設計では、より厳密なモンテカルロツールが使われます。Geant4（GEometry ANd Tracking）は CERN で開発された汎用の粒子輸送ツールキットで、素粒子物理から医学物理まで広く使われています。医用イメージング向けには Geant4 を土台にした GATE、陽子線治療などで使われる TOPAS、ほかにも MCNP や EGSnrc といったコードがあります。これらは 3 次元の任意形状、連続エネルギースペクトル、精密な断面積データ、検出器の応答（シンチレータの発光や光電子増倍まで）を扱い、CT の散乱補正の設計、PCCT（第14章）の検出器応答の評価、線量計算などに使われます。この章のトイモデルは、そうしたツールが内部で回している素過程を、ブラウザの中で最小限に再現したものです。

この章の要点

線積分による順投影は理想化で、実際の光子は光電吸収・コンプトン散乱・レイリー散乱を起こします。光電吸収は線量を生み、散乱は方向を変えて検出器を汚します。どの過程が優勢かはエネルギーで変わり、低エネルギーでは吸収と線量が、高エネルギーでは散乱が増えます。モンテカルロ法はこの素過程を 1 光子ずつ追い、多数の平均として真の分布へ収束させる方法で、誤差は光子数の平方根に反比例します。散乱補正（第12章）や線量評価（第9章）の基準となる計算であり、Geant4 などの本格ツールがこれを厳密に担います。

参考文献

• Agostinelli S et al. Geant4—a simulation toolkit. Nuclear Instruments and Methods in Physics Research A 506, 250–303 (2003) — Geant4 の原典。
• Jan S et al. GATE: a simulation toolkit for PET and SPECT. Physics in Medicine and Biology 49, 4543–4561 (2004).
• Klein O, Nishina Y. Über die Streuung von Strahlung durch freie Elektronen…. Zeitschrift für Physik 52, 853–868 (1929) — コンプトン散乱の断面積。
• Rogers DWO. Fifty years of Monte Carlo simulations for medical physics. Physics in Medicine and Biology 51, R287–R301 (2006).