第20章 PET/SPECT と放射トモグラフィ

CT や MRI が主に解剖学的構造を画像化するのに対し、PET（陽電子放出断層撮影）と SPECT（単一光子放出断層撮影）は、放射性トレーサの分布から代謝や受容体などの機能を画像化します。撮像装置と測定する信号は CT と異なりますが、再構成には共通する数学が用いられます。特に、第8章で扱った MLEM は、放射計数のポアソン統計にもとづく再構成法として利用されます。

放射と透過

CT は外部の X 線源から体を透過した光子を測り、減弱係数 $\mu$ を画像化しました。PET/SPECT の線源は体の中にあります。トレーサから放出された光子の線積分、すなわち放射能（活動度）の分布を測ります。これを透過（transmission）に対して放射（emission）と呼びます。

ここで避けて通れないのが減弱です。体内で放出された光子も、体外へ抜けるまでに $\mu$ で減弱します。深い場所からの光子ほど届きにくいので、補正しないと中心が凹んだ像になります。この補正に必要な $\mu$ マップを提供するのが CT です。PET/CT という複合装置が普及したのは、機能（PET）と構造・減弱補正（CT）を一度に得られるからです。

同時計数と LOR

PET は次のようにして方向を決めます。トレーサ（たとえば FDG）が放出する陽電子は、すぐ近くの電子と対消滅し、正反対の向きに 511 keV の光子を 2 つ放ちます。リング状に並べた検出器のうち 2 つが、ごく短い時間窓の中で同時に光子を捉えたら（同時計数）、消滅はその 2 点を結ぶ線上で起きたと分かります。この線を応答線（LOR, line of response）と呼びます。コリメータで方向を絞る必要がなく、感度が高いのが PET の強みです。SPECT は単一光子なので、鉛のコリメータで方向を機械的に選びます（そのぶん感度は下がります）。

収集した LOR の計数を角度と位置に沿って並べると、CT と同様のサイノグラムとして表せます。

放射トモグラフィにおける MLEM

放射計数は本質的にポアソン統計に従います。各 LOR の計数は、活動度分布から期待される値のまわりでポアソン分布します。この尤度を最大にする活動度を求めるのが MLEM（Maximum Likelihood Expectation Maximization）です。第8章では MLEM を「透過型 CT に適用する簡略モデル」として導入しましたが、本来 MLEM は放射トモグラフィのために生まれた手法です（Shepp & Vardi 1982）。ここでは乗法更新が近似ではなく、正しい尤度最大化そのものになります。

$$x_j \;\leftarrow\; \frac{x_j}{\sum_i a_{ij}} \sum_i a_{ij}\, \frac{p_i}{\sum_k a_{ik} x_k}$$

減弱補正は、この系統行列 $a_{ij}$ に LOR ごとの減弱因子 $\exp(-\int \mu\, dl)$ を組み込むことで実現します。

シミュレーション：放射スキャンと減弱補正

活動度ファントム（背景の一様取り込み＋2 つのホットスポット）から、減弱を掛けたサイノグラムを作り、MLEM で再構成します。「減弱補正」を切って反復すると、中心が凹むアーチファクトが現れます。深部からの光子ほど減弱で失われるからです。補正を入れると一様な取り込みが平坦に戻り、ホットスポットの定量も正しくなります。これが PET/CT で CT の μ マップを併用する理由です。

TOF（飛行時間）

PET の分解能をさらに高めるのが飛行時間（TOF）計測です。2 つの光子が検出器に届く時間の差 $\Delta t$ を測れば、消滅点が LOR の中心からどちらへどれだけ寄っていたかが分かります。位置の不確かさは $\Delta x = c\,\Delta t / 2$（$c$ は光速）で、時間分解能が高いほど狭い区間に局在できます。非 TOF では LOR 全体に均一に逆投影するしかなかった計数を、TOF では正しい区間に集中させられるので、実効的な感度（画質）が上がります。

分解能の限界と、次章への橋渡し

PET の空間分解能は、陽電子が消滅するまでに移動する陽電子飛程と、光子対の角度が厳密には 180° にならない非同一直線性の影響を受けます。これらは物理過程に由来するため、検出器の性能だけでは除去できません。一方、PET と SPECT は、代謝や受容体分布などの機能情報を定量的に画像化できます。

SPECT では単一光子を測定するため、PET のような同時計数で到来方向を決めることができません。代わりに鉛のコリメータで方向を選択します。コリメータの形状は、SPECT の空間分解能と感度を大きく左右します。次章では、平行穴コリメータにおける空間分解能と感度の関係を扱います。

参考文献

• Shepp LA, Vardi Y. Maximum Likelihood Reconstruction for Emission Tomography. IEEE Transactions on Medical Imaging 1, 113–122 (1982) — 放射トモグラフィの MLEM 原典。
• Hudson HM, Larkin RS. Accelerated image reconstruction using ordered subsets of projection data. IEEE Transactions on Medical Imaging 13, 601–609 (1994) — OSEM。
• Ollinger JM, Fessler JA. Positron-emission tomography. IEEE Signal Processing Magazine 14, 43–55 (1997).
• Cherry SR, Sorenson JA, Phelps ME. Physics in Nuclear Medicine, 4th ed. Elsevier (2012).